Test na Derivace jako limita
Derivace jako limita: Kompletní rozbor a příklady pro studenty
Test: Derivace funkce jako limita, Výpočet derivace z definice, Běžné chyby při derivaci
20 otázek
Otázka 1: Směrnice sečny ke grafu funkce v daném bodě představuje okamžitou rychlost změny funkce v tomto bodě.
A. Ano
B. Ne
Vysvětlení: Směrnice sečny představuje průměrnou rychlost změny funkce na daném intervalu. Okamžitou rychlost změny funkce v daném bodě představuje směrnice tečny, která je definována jako limita směrnice sečny, když se interval zmenšuje k nule.
Otázka 2: Kdy je funkce f diferencovatelná v bodě x₀, s ohledem na její jednostranné derivace?
A. Funkce je diferencovatelná, pokud existuje derivace zprava f'₊(x₀).
B. Funkce je diferencovatelná, pokud existují obě jednostranné derivace f'₊(x₀) a f'₋(x₀) a jsou si rovny.
C. Funkce je diferencovatelná, pokud existují obě jednostranné derivace, i když si nejsou rovny.
D. Funkce je diferencovatelná, pokud existuje pouze derivace zleva f'₋(x₀).
Vysvětlení: Podle studijních materiálů je funkce f diferencovatelná v bodě x₀ právě tehdy, když existují obě jednostranné derivace (derivace zprava f'₊(x₀) a derivace zleva f'₋(x₀)) a jsou si rovny. Pokud se liší nebo alespoň jedna neexistuje, derivace v daném bodě neexistuje.
Otázka 3: Pro výpočet derivace f'(x) funkce f(x) pomocí definice se používá limita výrazu (f(x+h) − f(x)) / h pro h blížící se k nule.
A. Ano
B. Ne
Vysvětlení: Studijní materiály explicitně uvádějí definici derivace jako f'(x) = lim_(h→0) (f(x+h) − f(x)) / h, což je limita výrazu (f(x+h) − f(x)) / h pro h blížící se k nule.
Otázka 4: Pro funkci f(x) = x² je výsledkem výpočtu limity výrazu (2x + h) pro h blížící se k nule hodnota 2x.
A. Ano
B. Ne
Vysvětlení: Při výpočtu derivace funkce f(x) = x² pomocí definice se v kroku 5 vypočítá limita výrazu (2x + h) pro h → 0 jako 2x + 0 = 2x.
Otázka 5: Při výpočtu derivace funkce f(x) = x² pomocí definice, jaký je správný rozvinutý výraz pro f(x+h)?
A. x² + h²
B. x + h²
C. x² + 2xh + h²
D. x² + 2x + h²
Vysvětlení: Podle studijních materiálů je prvním krokem při výpočtu derivace funkce f(x) = x² pomocí definice určení f(x+h). Tento krok je popsán jako f(x+h) = (x+h)² = x² + 2xh + h². Správný rozvinutý výraz je tedy x² + 2xh + h².