Test na Derivace funkce

Otázka 1: Pokud je první derivace funkce f′(x) na určitém intervalu I kladná (f′(x) > 0), pak je funkce f na tomto intervalu rostoucí.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Studijní materiály uvádějí: 'Pokud je f′(x) > 0 na intervalu I, pak je funkce f na intervalu I rostoucí.' Toto je přímo uvedeno v sekci 'Monotonie funkce (rostoucí/klesající)'.

Otázka 2: Které z následujících tvrzení o pravidlech pro derivování operací s funkcemi je správné podle studijních materiálů?

A. Derivace součtu dvou funkcí je součtem jejich derivací, tj. (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x).

B. Derivace konstantního násobku funkce je rovna derivaci konstanty krát derivaci funkce, tj. (c · f(x))′ = c′ · f′(x).

C. Derivace součinu dvou funkcí f(x) a g(x) je dána vzorcem (f(x) · g(x))′ = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

D. Derivace složené funkce f(g(x)) je rovna součinu derivace vnější funkce f′(g(x)) a derivace vnitřní funkce g′(x), ale pouze pokud je g(x) konstantní.

Vysvětlení: Podle studijních materiálů je derivace součtu funkcí (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x), což odpovídá prvnímu tvrzení. Dále je derivace součinu (f(x) · g(x))′ = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x), což odpovídá třetímu tvrzení. Druhé tvrzení je chybné, protože derivace konstantního násobku je (c · f(x))′ = c · f′(x), nikoli c′ · f′(x) (derivace konstanty je 0). Čtvrté tvrzení je také chybné, řetězové pravidlo pro složenou funkci platí obecně a nezávisle na tom, zda je vnitřní funkce konstantní; ve skutečnosti, pokud by g(x) bylo konstantní, pak g′(x) by bylo 0 a celá derivace by byla 0.

Otázka 3: Druhá derivace funkce f(x) je 6x - 12.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů je druhá derivace funkce vypočítána jako f′′(x) = (3x² − 12x + 9)′ = 6x − 12.

Otázka 4: Monotonie funkce se v bodě lokálního maxima [1, 2] mění z klesající na rostoucí.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Podle studijních materiálů se v bodě x = 1 (kde je lokální maximum [1, 2]) mění monotonie z rostoucí na klesající, nikoli z klesající na rostoucí.

Otázka 5: Na kterém intervalu je funkce f konvexní?

A. (−∞, 2)

B. (2, ∞)

C. V bodě x = 2

D. Na celém definičním oboru

Vysvětlení: Podle Kroku 4: Druhá derivace a inflexní body, pro x > 2 je f′′(x) > 0 (např. f′′(3) = 6 > 0), a proto je funkce f konvexní na intervalu (2, ∞).