Shrnutí na Aerodynamika a termodynamika turbostrojů

## Úvod Tento materiál shrnuje základní postupy a vztahy potřebné pro pracovní a výkonové výpočty kapalinových turbín. Je určen pro samostudium a zaměřuje se na kinetiku proudění, energetické bilance a užitečné vzorce pro výpočet práce a účinnosti turbíny. Nepokračujeme v tématech, která jsou jinde pokryta, například stupeň reakce nebo účinnost lopatek. > Definice: Pracovní výpočty turbín se zabývají analýzou rychlostních trojúhelníků, energií proudící látky a převodem této energie na mechanickou práci na hřídeli. ## Základní pojmy a veličiny - $U$ — obvodová (oběžná) rychlost lopatky - $c$ — absolutní rychlost proudu (s indexy 1,2,3 pro různá místa) - $w$ — relativní rychlost proudu vůči lopatce - $h$ — specifická entalpie - $C_0$ — referenční rychlost pro energii (odvozeno z celkové dostupné energie) - $\alpha$, $\beta$ — směrové úhly rychlosti (vstupní/výstupní) > Definice: Rychlostní trojúhelníky vyjadřují vztah mezi absolutní rychlostí $c$, obvodovou rychlostí $U$ a relativní rychlostí $w$ jako $\mathbf{c} = \mathbf{w} + \mathbf{U}$. ### Rychlostní komponenty a jejich složky - obvodová složka: $c_0 = c\sin\alpha$ (často značené $c_{02}$, $c_{03}$ apod.) - axiální nebo radiální složka: $c_r = c\cos\alpha$ podle geometrie ## Energetická bilance a práce turbíny Základní vztah pro práci na jednotku hmotnosti mezi body 1 a 3: $$w = h_1 + \frac{1}{2} c_1^2 - \left(h_3 + \frac{1}{2} c_3^2\right) = (h_1 - h_3) + \frac{1}{2} (c_1^2 - c_3^2)$$ Práce vyjádřená obvodovou změnou složky rychlosti: $$w = U\,\Delta c_0$$ kde $\Delta c_0 = c_{02} - c_{03}$. > Definice: Specifická užitečná práce $w$ je práce získaná z jednotky hmotnosti pracovního média při průchodu turbínou. ### Vztahy mezi $C$, $w$ a $U$ Pro určité konfigurace (zjednodušené příklady dané poznámkami) platí: $$\frac{W_{02}}{U} = \frac{\psi}{2} - R$$ $$\frac{C_{02}}{U} = \frac{\psi}{2} + 1 - R$$ $$\frac{W_{03}}{U} = \frac{\psi}{2} + R$$ Kde $\phi$, $\psi$, $R$ jsou dimenzované parametry, definované vztahy: $$\psi = \phi\left(\mathrm{kg}\,\alpha_2 + \mathrm{kg}\,\alpha_1\right)$$ $$R = 1 - \frac{\phi}{2}\left(\mathrm{kg}\,\alpha_2 - \mathrm{kg}\,\alpha_1\right)$$ $$\psi = 2\left(1 - R + \phi\,\mathrm{kg}\,\alpha_1\right)$$ Poznámka: výrazy se v poznámkách objevují zkráceně a symbolika "kg" zde reprezentuje určitou normalizovanou veličinu nebo koeficient; při praktických výpočtech je třeba přesně určit její význam z kontextu projektu nebo zadání. ## Výpočty rychlostí a úhlů Pro určení úhlů vycházejí vztahy s funkcí označenou jako "archg" (v původním textu). Pokud se jedná o inverzní trigonometrickou funkci vztahu mezi složkami, pak obecné způsoby zápisu jsou: $$\alpha_3 = \alpha_1 = \operatorname{archg}\left(\frac{\psi/2 + R - 1}{\phi}\right)$$ $$\alpha_2 = \operatorname{archg}\left(\frac{\psi/2 - R + 1}{\phi}\right)$$ $$\beta_2 = \operatorname{archg}\left(\frac{\psi/2 - R}{\phi}\right)$$ $$\beta_3 = \operatorname{archg}\left(\frac{\psi/2 + R}{\phi}\right)$$ Pro velikosti rychlostí platí: $$\left(\frac{C_2}{U}\right)^2 = \phi^2 + \left(\frac{\psi}{2} + 1 - R\right)^2$$ $$\left(\frac{W_3}{U}\right)^2 = \phi^2 + \left(\frac{\psi}{2} + R\right)^2$$ $$\left(\frac{C_1}{U}\right)^2 = \phi^2 + \left(\frac{\psi}{2} + R - 1\right)^2$$ $$\left(\frac{W_2}{U}\right)^2 = \phi^2 + \left(\frac{\psi}{2} - R\right)^2$$ > Definice: Funkce \operatorname{archg} v původních poznámkách značí inverzní funkci vztahu mezi složkami; v praktických podmínkách ji nahradíme odpovídající inverzní trigonometrickou funkcí (např. $\arctan$ nebo $\arcsin$) podle použitých složek. ## Účinnosti a ideální vs. reálný přenos energie V poznámkách jsou zavedeny dvě úrovně účinnosti související s částmi stroje (pozn. vynecháváme podrobnosti o účinnosti lopatek): - Účinnost zaváděcího kola $\varphi^2$: vztah mezi ideální a reálnou přeměnou entalpie a kinetické energie Reálný vztah pro výstupní kinetickou energii po zaváděcím kole: $$\frac{1}{2} c_2^2 = \varphi^2\left[\left(h_1 - h_{1S}\right) + \frac{1}{