Pochodne i styczne
Pochodne i styczne to darmowa interaktywna symulacja ze StudyFi Lab. Działa bezpośrednio w przeglądarce, bez rejestracji i bez instalacji.
Styczna, sieczna i wykres f′ dla twojej własnej funkcji
Eksperymenty
Styczna i pochodna
Przesuwaj punkt po wykresie f. Przerywana prosta to styczna: dotyka krzywej w x₀ i ma współczynnik kierunkowy k = f′(x₀). Dolny wykres zbiera te nachylenia dla każdego x – to pochodna f′(x). Tam, gdzie f rośnie, f′ jest dodatnia; gdzie maleje – ujemna.
Spróbuj: Wybierz funkcję sześcienną i przesuń punkt tam, gdzie styczna jest pozioma. Jaką wartość ma tam f′ i gdzie dolny wykres przecina oś x?
Od siecznej do stycznej
Sieczna przechodzi przez dwa punkty wykresu, x₀ i x₀ + h. Jej nachylenie to iloraz różnicowy k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Gdy h maleje, drugi punkt zbliża się do pierwszego, a sieczna przechodzi w styczną: granica k(h) przy h → 0 to pochodna f′(x₀).
Spróbuj: Zmniejszaj h do zera (suwakiem lub animacją) i obserwuj, jak nachylenie siecznej w wartościach zbliża się do f′(x₀). Spróbuj też z sinusem.
Znajdź pochodną
Na górze jest funkcja f, na dole trzy wykresy – tylko jeden z nich to jej pochodna. Czytaj f jak mapę nachylenia: gdzie f rośnie, f′ leży nad osią x; gdzie maleje – pod nią; na szczycie lub w dolinie f′ przechodzi przez zero. Pięć rund, za każdym razem inny rodzaj funkcji.
Spróbuj: Zanim wybierzesz, znajdź punkty, w których f ma poziomą styczną, i sprawdź, który kandydat ma tam akurat wartość zero.
Ekstrema i punkty przegięcia
Punkty stacjonarne leżą tam, gdzie f′(x) = 0, a styczna jest pozioma. Jeśli f′ zmienia znak z + na −, f ma maksimum lokalne; z − na + – minimum lokalne; jeśli znak się nie zmienia, jest to stacjonarny punkt przegięcia. Tam, gdzie f″ zmienia znak, krzywa przechodzi z wypukłej w wklęsłą (lub odwrotnie): to punkt przegięcia.
Spróbuj: Określ każdy „?” na wykresie na podstawie znaków f′ poniżej, a potem włącz klasyfikację, aby sprawdzić. Na koniec ustaw funkcję sześcienną na a = 1, b = 0, c = 0.
Najczęstsze pytania
Czym jest Pochodne i styczne?
Pochodne i styczne to darmowa interaktywna symulacja ze StudyFi Lab. Działa bezpośrednio w przeglądarce, bez rejestracji i bez instalacji. Styczna, sieczna i wykres f′ dla twojej własnej funkcji
Czy aplikacja Pochodne i styczne jest darmowa?
Tak. Aplikacja Pochodne i styczne jest całkowicie darmowa. Działa w przeglądarce na komputerze, tablecie i telefonie, a konto nie jest potrzebne.
Co mogę odkryć w aplikacji Pochodne i styczne?
Styczna i pochodna, Od siecznej do stycznej, Znajdź pochodną, Ekstrema i punkty przegięcia.
Co pokazuje eksperyment „Styczna i pochodna”?
Przesuwaj punkt po wykresie f. Przerywana prosta to styczna: dotyka krzywej w x₀ i ma współczynnik kierunkowy k = f′(x₀). Dolny wykres zbiera te nachylenia dla każdego x – to pochodna f′(x). Tam, gdzie f rośnie, f′ jest dodatnia; gdzie maleje – ujemna.
Co pokazuje eksperyment „Od siecznej do stycznej”?
Sieczna przechodzi przez dwa punkty wykresu, x₀ i x₀ + h. Jej nachylenie to iloraz różnicowy k(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Gdy h maleje, drugi punkt zbliża się do pierwszego, a sieczna przechodzi w styczną: granica k(h) przy h → 0 to pochodna f′(x₀).
Uczysz się do sprawdzianu?
Wgraj swoje notatki, a StudyFi zrobi z nich fiszki, testy i podcasty.