¡Bienvenido a nuestra guía completa sobre Ejercicios de Secciones Cónicas y Funciones! En este artículo, abordaremos los conceptos fundamentales y te proporcionaremos ejercicios resueltos y ejemplos prácticos para dominar estos temas cruciales en matemáticas. Ya sea que estés preparando un examen o buscando reforzar tus conocimientos, aquí encontrarás una explicación clara y concisa.

Fundamentos de Funciones: Dominio, Recorrido y Operaciones

Comprender las funciones es el primer paso para resolver problemas complejos. Aquí exploraremos cómo determinar el dominio y el recorrido, así como la manipulación de funciones a través de diversas operaciones.

Cálculo de Dominio y Recorrido de Funciones

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada ($x$) para los cuales la función está definida, mientras que el recorrido son todos los valores de salida ($y$) posibles. Analicemos algunos ejemplos de las funciones dadas:

Función Racional: $f(x) = rac{3x + 5}{x - 8}$
Dominio: Los denominadores no pueden ser cero, entonces $x - 8 eq 0 ightarrow x eq 8$. Dominio: $\mathbb{R} - {8}$.
Recorrido: Si $y = rac{3x + 5}{x - 8}$, entonces $y(x - 8) = 3x + 5 ightarrow yx - 8y = 3x + 5 ightarrow x(y - 3) = 8y + 5 ightarrow x = rac{8y + 5}{y - 3}$. Por lo tanto, $y - 3 eq 0 ightarrow y eq 3$. Recorrido: $\mathbb{R} - {3}$.
Función Raíz Cuadrada: $f(x) = \sqrt{x}$
Dominio: El argumento de la raíz cuadrada no puede ser negativo, $x \geq 0$. Dominio: $[0, \infty)$.
Recorrido: Los valores de la raíz cuadrada son no negativos. Recorrido: $[0, \infty)$.
Función Valor Absoluto: $f(x) = |x + 3|$
Dominio: Todos los números reales. Dominio: $\mathbb{R}$.
Recorrido: Los valores del valor absoluto son no negativos. Recorrido: $[0, \infty)$.
Función Cuadrática Simple: $f(x) = 4x + 7$
Dominio: Todos los números reales. Dominio: $\mathbb{R}$.
Recorrido: Todos los números reales. Recorrido: $\mathbb{R}$.
Función Racional con Raíz: $f(x) = \sqrt{\frac{3x + 1}{x - 2}}$
Dominio: El argumento de la raíz debe ser no negativo y el denominador no cero. Es decir, $\frac{3x + 1}{x - 2} \geq 0$ y $x - 2 \neq 0$. Analizando los signos, $x < -1/3$ o $x > 2$. Dominio: $(-\infty, -1/3] \cup (2, \infty)$.
Función Racional Cuadrática: $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$
Dominio: El denominador $1 + x^2$ nunca es cero (siempre es positivo). Dominio: $\mathbb{R}$.
Recorrido: Como $x^2 \geq 0$, entonces $1 + x^2 \geq 1$. Por lo tanto, $0 < \frac{1}{1 + x^2} \leq 1$. Recorrido: $(0, 1]$.

Operaciones con Funciones: Diferencia de Cocientes y Composición

Las operaciones con funciones son fundamentales. A menudo se requiere calcular la diferencia de cocientes o la composición de funciones.

Para $f(x) = 3x^3 - x$ y $g(x) = \frac{2}{2 - x}$:

Diferencia de Cocientes para $f(x)$: $\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(3(x + h)^3 - (x + h)) - (3x^3 - x)}{h}$ $= \frac{3(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - x - h - 3x^3 + x}{h}$ $= \frac{3x^3 + 9x^2h + 9xh^2 + 3h^3 - h - 3x^3}{h}$ $= \frac{9x^2h + 9xh^2 + 3h^3 - h}{h} = 9x^2 + 9xh + 3h^2 - 1$
Diferencia de Cocientes para $g(x)$: $\frac{g(x - 1) - g(1)}{x - 2} = \frac{\frac{2}{2 - (x - 1)} - \frac{2}{2 - 1}}{x - 2} = \frac{\frac{2}{3 - x} - 2}{x - 2}$ $= \frac{\frac{2 - 2(3 - x)}{3 - x}}{x - 2} = \frac{\frac{2 - 6 + 2x}{3 - x}}{x - 2} = \frac{2x - 4}{(3 - x)(x - 2)} = \frac{2(x - 2)}{(3 - x)(x - 2)} = \frac{2}{3 - x}$, para $x \neq 2$.

Considerando las funciones $f: \mathbb{R} - {2} \to \mathbb{R} - {3}$ definida por $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $g(x) = x + 1$:

Cálculo de $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$: $f(3 + h) = \frac{3(3 + h) + 1}{(3 + h) - 2} = \frac{9 + 3h + 1}{h + 1} = \frac{10 + 3h}{h + 1}$ $f(3) = \frac{3(3) + 1}{3 - 2} = \frac{10}{1} = 10$ $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{\frac{10 + 3h}{h + 1} - 10}{h} = \frac{\frac{10 + 3h - 10(h + 1)}{h + 1}}{h}$ $= \frac{10 + 3h - 10h - 10}{h(h + 1)} = \frac{-7h}{h(h + 1)} = \frac{-7}{h + 1}$
Encontrar una función $p$ tal que $f \circ p = g$: Sabemos que $(f \circ p)(x) = f(p(x)) = g(x)$. Entonces $f(p(x)) = \frac{3p(x) + 1}{p(x) - 2} = x + 1$. $3p(x) + 1 = (x + 1)(p(x) - 2)$ $3p(x) + 1 = xp(x) - 2x + p(x) - 2$ $3p(x) - xp(x) - p(x) = -2x - 2 - 1$ $p(x)(3 - x - 1) = -2x - 3$ $p(x)(2 - x) = -2x - 3$ $p(x) = \frac{-2x - 3}{2 - x} = \frac{2x + 3}{x - 2}$.

Si $f(x) = \frac{3x}{x - 5}$ y $(f \circ g)(x) = \frac{2x + 1}{x}$:

Determinar $g(x)$: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \frac{3g(x)}{g(x) - 5} = \frac{2x + 1}{x}$. $3xg(x) = (2x + 1)(g(x) - 5)$ $3xg(x) = (2x + 1)g(x) - 5(2x + 1)$ $3xg(x) - (2x + 1)g(x) = -10x - 5$ $g(x)(3x - (2x + 1)) = -10x - 5$ $g(x)(3x - 2x - 1) = -10x - 5$ $g(x)(x - 1) = -10x - 5$ $g(x) = \frac{-10x - 5}{x - 1}$.
Determinar $(g \circ f)(x)$: $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\frac{3x}{x - 5})$. Sustituyendo en la expresión de $g(x)$: $g(f(x)) = \frac{-10(\frac{3x}{x - 5}) - 5}{(\frac{3x}{x - 5}) - 1}$ $= \frac{\frac{-30x - 5(x - 5)}{x - 5}}{\frac{3x - (x - 5)}{x - 5}} = \frac{-30x - 5x + 25}{3x - x + 5} = \frac{-35x + 25}{2x + 5}$.

Análisis de Funciones a Trozos y sus Composiciones

Las funciones a trozos son aquellas definidas por diferentes expresiones matemáticas en distintos intervalos de su dominio. La composición de estas requiere un análisis cuidadoso de los intervalos.

Consideremos las funciones a trozos dadas:

$f(x) = \left{ \begin{array}{ll} 2x + 1 & \text{si } x \leq -1 \ \frac{1}{x + 1} & \text{si } -1 < x \leq 4 \ |x - 4| & \text{si } x > 4 \end{array} \right., \quad g(x) = \left{ \begin{array}{ll} x^2 - 4 & \text{si } x \leq 1 \ |x - 1| + 1 & \text{si } -1 < x < 7 \ -3 & \text{si } x \geq 7 \end{array} \right.$ (Nota: la condición $-1 < x < 7$ en $g(x)$ se solapa con $x \leq 1$ y $x \geq 7$. Asumiremos que el segundo trozo es para $1 < x < 7$).

Calcularemos los valores de las composiciones:

$(f \circ g)(-3)$: Primero calculamos $g(-3)$. Como $-3 \leq 1$, usamos $x^2 - 4$: $g(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Ahora calculamos $f(5)$. Como $5 > 4$, usamos $|x - 4|$: $f(5) = |5 - 4| = |1| = 1$. Por lo tanto, $(f \circ g)(-3) = 1$.
$(f \circ g)(2)$: Primero calculamos $g(2)$. Como $1 < 2 < 7$, usamos $|x - 1| + 1$: $g(2) = |2 - 1| + 1 = |1| + 1 = 1 + 1 = 2$. Ahora calculamos $f(2)$. Como $-1 < 2 \leq 4$, usamos $\frac{1}{x + 1}$: $f(2) = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$. Por lo tanto, $(f \circ g)(2) = \frac{1}{3}$.
$(g \circ f)(0)$: Primero calculamos $f(0)$. Como $-1 < 0 \leq 4$, usamos $\frac{1}{x + 1}$: $f(0) = \frac{1}{0 + 1} = 1$. Ahora calculamos $g(1)$. Como $1 \leq 1$, usamos $x^2 - 4$: $g(1) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Por lo tanto, $(g \circ f)(0) = -3$.

Propiedades de Funciones: Simetría y Positividad

Analicemos la función $g(x) = \frac{1}{x^2 - a^2}$, donde $a$ es una constante positiva.

a) Encontrar $x$ tal que $g(x) = 0$: $\frac{1}{x^2 - a^2} = 0$. Esta ecuación no tiene solución, ya que el numerador es una constante no nula. Por lo tanto, no existe ningún $x$ para el cual $g(x) = 0$.
b) Intervalos donde $g(x)$ es positiva: Para que $g(x) > 0$, el denominador debe ser positivo: $x^2 - a^2 > 0$. Esto implica $(x - a)(x + a) > 0$. Los puntos críticos son $x = a$ y $x = -a$. Analizando el signo, $g(x)$ es positiva en $(-\infty, -a) \cup (a, \infty)$.
c) Intervalos donde $g(x)$ es negativa: Para que $g(x) < 0$, el denominador debe ser negativo: $x^2 - a^2 < 0$. Esto implica $(x - a)(x + a) < 0$. $g(x)$ es negativa en $(-a, a)$.

También se menciona una función $f(x) = \frac{1}{2}(a^x + a^{-x})$. Se debe demostrar algo, pero la demostración no se provee en el material. Esta función es conocida como el Coseno hiperbólico, $f(x) = \cosh(x \ln a)$. Podría ser una demostración de $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ o de alguna otra propiedad.

Ejercicios de Secciones Cónicas: Circunferencia y Elipse

Las secciones cónicas son curvas planas que resultan de la intersección de un cono con un plano. Aquí nos centraremos en la circunferencia y la elipse, resolviendo problemas comunes para Ejercicios de Secciones Cónicas y Funciones.

Ecuación de la Circunferencia: Centro y Radio

La ecuación general de una circunferencia es $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. La ecuación canónica es $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, donde $(h, k)$ es el centro y $r$ es el radio.

Calcule el centro y radio de las circunferencias:

a) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 1 - 1 - 4 = 0$ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Centro: $(1, 2)$, Radio: $r = 2$.
b) $2x^2 + 2y^2 - 2x - 2y + 9 = 0$ Dividiendo por 2: $x^2 + y^2 - x - y + \frac{9}{2} = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - x + \frac{1}{4}) + (y^2 - y + \frac{1}{4}) + \frac{9}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -4$. Como el radio al cuadrado no puede ser negativo, esta ecuación no representa una circunferencia real.
c) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 13 - 4 - 9 = 0$ $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$. Esto es un punto, no una circunferencia con radio positivo. Centro: $(2, -3)$, Radio: $r = 0$.
d) $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 17 = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + 17 - 4 - 9 = 0$ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = -4$. Esta ecuación no representa una circunferencia real.

Ecuación de la circunferencia que pasa por A(0,6) y B(1,5) y centro en $x+y=1$: Sea el centro $C(h, k)$. Como $C$ está en $x+y=1$, entonces $h+k=1 \implies k = 1-h$. La distancia del centro a A y B es el radio $r$: $r^2 = (h-0)^2 + (k-6)^2 = (h-1)^2 + (k-5)^2$. $h^2 + (1-h-6)^2 = (h-1)^2 + (1-h-5)^2$ $h^2 + (-h-5)^2 = (h-1)^2 + (-h-4)^2$ $h^2 + h^2 + 10h + 25 = h^2 - 2h + 1 + h^2 + 8h + 16$ $2h^2 + 10h + 25 = 2h^2 + 6h + 17$ $4h = -8 \implies h = -2$. Entonces $k = 1 - (-2) = 3$. Centro: $C(-2, 3)$. Radio cuadrado: $r^2 = (-2 - 0)^2 + (3 - 6)^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$. Ecuación Canónica: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$. Ecuación General: $x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - 13 = 0 \implies x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$.
Ecuación general de la circunferencia tangente a $2x - 3y + 5 = 0$ y centro $(-1, -2)$: El radio $r$ es la distancia del centro $(-1, -2)$ a la recta $2x - 3y + 5 = 0$. $r = \frac{|2(-1) - 3(-2) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$. $r^2 = \frac{81}{13}$. Ecuación Canónica: $(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = \frac{81}{13} \implies (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{81}{13}$. Ecuación General: $x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = \frac{81}{13}$ $13(x^2 + y^2 + 2x + 4y + 5) = 81$ $13x^2 + 13y^2 + 26x + 52y + 65 - 81 = 0 \implies 13x^2 + 13y^2 + 26x + 52y - 16 = 0$.
Ecuación de la circunferencia con centro en intersección de $x + 3y + 3 = 0$ y $x + y + 1 = 0$, y radio 5: Para encontrar el centro, resolvemos el sistema de ecuaciones: $(x + 3y = -3) - (x + y = -1) \implies 2y = -2 \implies y = -1$. Sustituyendo $y = -1$ en $x + y + 1 = 0$: $x - 1 + 1 = 0 \implies x = 0$. Centro: $(0, -1)$. Radio: $r = 5$, entonces $r^2 = 25$. Ecuación Canónica: $(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 25 \implies x^2 + (y + 1)^2 = 25$. Ecuación General: $x^2 + y^2 + 2y + 1 - 25 = 0 \implies x^2 + y^2 + 2y - 24 = 0$.
Ecuación de la circunferencia con centro en intersección de L1: $2x-y+3=0$ y L2: $4x+y-2=0$, y tangente a L3: $x-y+1=0$: Para el centro, sumamos L1 y L2: $(2x - y + 3) + (4x + y - 2) = 0 \implies 6x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{6}$. Sustituyendo en L1: $2(-\frac{1}{6}) - y + 3 = 0 \implies -\frac{1}{3} - y + 3 = 0 \implies y = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$. Centro: $(-\frac{1}{6}, \frac{8}{3})$. El radio es la distancia del centro a la recta L3: $x - y + 1 = 0$. $r = \frac{|(-\frac{1}{6}) - (\frac{8}{3}) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{1}{6} - \frac{16}{6} + \frac{6}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{|-\frac{11}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{11}{6\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{12}$. $r^2 = (\frac{11\sqrt{2}}{12})^2 = \frac{121 \cdot 2}{144} = \frac{121}{72}$. Ecuación Canónica: $(x + \frac{1}{6})^2 + (y - \frac{8}{3})^2 = \frac{121}{72}$. Ecuación General: $x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} + y^2 - \frac{16}{3}y + \frac{64}{9} = \frac{121}{72}$ Multiplicando por 72: $72x^2 + 24x + 2 + 72y^2 - 384y + 512 = 121$ $72x^2 + 72y^2 + 24x - 384y + 393 = 0$.

Ecuación de la Elipse y sus Elementos

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Su ecuación canónica depende de la orientación de sus ejes.

Ecuación general de la elipse con centro O(2,-3), eje menor 4 y eje mayor 5: El eje mayor y menor se refieren a $2a$ y $2b$. Aquí se confunden los términos usuales. Si el texto se refiere a la longitud de los semiejes, $2b=4 \implies b=2$ y $2a=5 \implies a=2.5$. Si el texto se refiere a los semiejes, entonces $b=4$ y $a=5$. Asumiremos que se refieren a las longitudes completas. Por lo tanto $2b=4 \implies b=2$ y $2a=5 \implies a=2.5$. Si el eje mayor es vertical, la ecuación es $\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1$. Si el eje mayor es horizontal, la ecuación es $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. Normalmente, $a > b$. En este caso, $a=2.5$ y $b=2$. No se especifica la orientación. Asumiremos eje mayor horizontal. Centro $(h, k) = (2, -3)$, $a = 2.5$, $b = 2$. $\frac{(x - 2)^2}{(2.5)^2} + \frac{(y - (-3))^2}{2^2} = 1 \implies \frac{(x - 2)^2}{6.25} + \frac{(y + 3)^2}{4} = 1$. Multiplicando por $25$: $4(x - 2)^2 + 6.25(y + 3)^2 = 25$. Para eliminar decimales, multiplicamos por 4: $16(x-2)^2 + 25(y+3)^2 = 100$. $16(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 6y + 9) = 100$ $16x^2 - 64x + 64 + 25y^2 + 150y + 225 = 100$ $16x^2 + 25y^2 - 64x + 150y + 189 = 0$.
Intersección de $4x^2 + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ con la recta L: $4x - 3y + 5 = 0$: De la recta, despejamos $x$: $4x = 3y - 5 \implies x = \frac{3y - 5}{4}$. Sustituimos en la ecuación de la elipse: $4(\frac{3y - 5}{4})^2 + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ $4\frac{(3y - 5)^2}{16} + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ $\frac{9y^2 - 30y + 25}{4} + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ Multiplicamos por 4: $9y^2 - 30y + 25 + 20y^2 - 60y - 80 = 0$ $29y^2 - 90y - 55 = 0$. Usamos la fórmula cuadrática: $y = \frac{-(-90) \pm \sqrt{(-90)^2 - 4(29)(-55)}}{2(29)}$ $y = \frac{90 \pm \sqrt{8100 + 6380}}{58} = \frac{90 \pm \sqrt{14480}}{58} = \frac{90 \pm 4\sqrt{905}}{58} = \frac{45 \pm 2\sqrt{905}}{29}$. Para cada valor de $y$, calculamos $x = \frac{3y - 5}{4}$. $y_1 = \frac{45 + 2\sqrt{905}}{29} \implies x_1 = \frac{3(\frac{45 + 2\sqrt{905}}{29}) - 5}{4} = \frac{\frac{135 + 6\sqrt{905} - 145}{29}}{4} = \frac{-10 + 6\sqrt{905}}{116} = \frac{-5 + 3\sqrt{905}}{58}$. $y_2 = \frac{45 - 2\sqrt{905}}{29} \implies x_2 = \frac{3(\frac{45 - 2\sqrt{905}}{29}) - 5}{4} = \frac{\frac{135 - 6\sqrt{905} - 145}{29}}{4} = \frac{-10 - 6\sqrt{905}}{116} = \frac{-5 - 3\sqrt{905}}{58}$. Las coordenadas de intersección son $(\frac{-5 + 3\sqrt{905}}{58}, \frac{45 + 2\sqrt{905}}{29})$ y $(\frac{-5 - 3\sqrt{905}}{58}, \frac{45 - 2\sqrt{905}}{29})$.
Elementos de la elipse a partir de su ecuación:

a) $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$ Agrupamos términos y completamos cuadrados: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11$ $4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4(4) + 9(1)$ $4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 11 + 16 + 9 = 36$ Dividimos por 36: $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$. Centro: $(2, -1)$. $a^2 = 9 \implies a = 3$. $b^2 = 4 \implies b = 2$. $c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 \implies c = \sqrt{5}$. Eje mayor horizontal. Vértices: $(h \pm a, k) = (2 \pm 3, -1) \implies V_1(5, -1), V_2(-1, -1)$. Covértices (extremos eje menor): $(h, k \pm b) = (2, -1 \pm 2) \implies B_1(2, 1), B_2(2, -3)$. Focos: $(h \pm c, k) = (2 \pm \sqrt{5}, -1) \implies F_1(2 + \sqrt{5}, -1), F_2(2 - \sqrt{5}, -1)$. Longitud Eje Mayor: $2a = 6$. Longitud Eje Menor: $2b = 4$.
b) $9x^2 + 4y^2 + 18x - 16y - 11 = 0$ Agrupamos términos y completamos cuadrados: $9(x^2 + 2x) + 4(y^2 - 4y) = 11$ $9(x^2 + 2x + 1) + 4(y^2 - 4y + 4) = 11 + 9(1) + 4(4)$ $9(x + 1)^2 + 4(y - 2)^2 = 11 + 9 + 16 = 36$ Dividimos por 36: $\frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$. Centro: $(-1, 2)$. $a^2 = 9 \implies a = 3$. $b^2 = 4 \implies b = 2$. (Aquí $a$ está bajo $y^2$, indicando eje mayor vertical). $c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 \implies c = \sqrt{5}$. Eje mayor vertical. Vértices: $(h, k \pm a) = (-1, 2 \pm 3) \implies V_1(-1, 5), V_2(-1, -1)$. Covértices (extremos eje menor): $(h \pm b, k) = (-1 \pm 2, 2) \implies B_1(1, 2), B_2(-3, 2)$. Focos: $(h, k \pm c) = (-1, 2 \pm \sqrt{5}) \implies F_1(-1, 2 + \sqrt{5}), F_2(-1, 2 - \sqrt{5})$. Longitud Eje Mayor: $2a = 6$. Longitud Eje Menor: $2b = 4$.

Ecuación de la elipse con focos $F_1(-4, 3)$ y $F_2(2, 3)$ y perímetro de rectángulo (con focos y un punto de la elipse) igual a 16: El centro de la elipse es el punto medio de los focos: $C = (\frac{-4 + 2}{2}, \frac{3 + 3}{2}) = (\frac{-2}{2}, \frac{6}{2}) = (-1, 3)$. La distancia entre los focos es $2c$: $2c = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \implies c = 3$. Los focos están en $y=3$, así que el eje mayor es horizontal. El

Fundamentos de Funciones: Dominio, Recorrido y Operaciones

Cálculo de Dominio y Recorrido de Funciones

Función Racional: $f(x) = rac{3x + 5}{x - 8}$
Dominio: Los denominadores no pueden ser cero, entonces $x - 8 eq 0 ightarrow x eq 8$. Dominio: $\mathbb{R} - {8}$.
Recorrido: Si $y = rac{3x + 5}{x - 8}$, entonces $y(x - 8) = 3x + 5 ightarrow yx - 8y = 3x + 5 ightarrow x(y - 3) = 8y + 5 ightarrow x = rac{8y + 5}{y - 3}$. Por lo tanto, $y - 3 eq 0 ightarrow y eq 3$. Recorrido: $\mathbb{R} - {3}$.
Función Raíz Cuadrada: $f(x) = \sqrt{x}$
Dominio: El argumento de la raíz cuadrada no puede ser negativo, $x \geq 0$. Dominio: $[0, \infty)$.
Recorrido: Los valores de la raíz cuadrada son no negativos. Recorrido: $[0, \infty)$.
Función Valor Absoluto: $f(x) = |x + 3|$
Dominio: Todos los números reales. Dominio: $\mathbb{R}$.
Recorrido: Los valores del valor absoluto son no negativos. Recorrido: $[0, \infty)$.
Función Cuadrática Simple: $f(x) = 4x + 7$
Dominio: Todos los números reales. Dominio: $\mathbb{R}$.
Recorrido: Todos los números reales. Recorrido: $\mathbb{R}$.
Función Racional con Raíz: $f(x) = \sqrt{\frac{3x + 1}{x - 2}}$
Dominio: El argumento de la raíz debe ser no negativo y el denominador no cero. Es decir, $\frac{3x + 1}{x - 2} \geq 0$ y $x - 2 \neq 0$. Analizando los signos, $x < -1/3$ o $x > 2$. Dominio: $(-\infty, -1/3] \cup (2, \infty)$.
Función Racional Cuadrática: $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$
Dominio: El denominador $1 + x^2$ nunca es cero (siempre es positivo). Dominio: $\mathbb{R}$.
Recorrido: Como $x^2 \geq 0$, entonces $1 + x^2 \geq 1$. Por lo tanto, $0 < \frac{1}{1 + x^2} \leq 1$. Recorrido: $(0, 1]$.

Operaciones con Funciones: Diferencia de Cocientes y Composición

Las operaciones con funciones son fundamentales. A menudo se requiere calcular la diferencia de cocientes o la composición de funciones.

Para $f(x) = 3x^3 - x$ y $g(x) = \frac{2}{2 - x}$:

Diferencia de Cocientes para $f(x)$: $\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(3(x + h)^3 - (x + h)) - (3x^3 - x)}{h}$ $= \frac{3(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - x - h - 3x^3 + x}{h}$ $= \frac{3x^3 + 9x^2h + 9xh^2 + 3h^3 - h - 3x^3}{h}$ $= \frac{9x^2h + 9xh^2 + 3h^3 - h}{h} = 9x^2 + 9xh + 3h^2 - 1$
Diferencia de Cocientes para $g(x)$: $\frac{g(x - 1) - g(1)}{x - 2} = \frac{\frac{2}{2 - (x - 1)} - \frac{2}{2 - 1}}{x - 2} = \frac{\frac{2}{3 - x} - 2}{x - 2}$ $= \frac{\frac{2 - 2(3 - x)}{3 - x}}{x - 2} = \frac{\frac{2 - 6 + 2x}{3 - x}}{x - 2} = \frac{2x - 4}{(3 - x)(x - 2)} = \frac{2(x - 2)}{(3 - x)(x - 2)} = \frac{2}{3 - x}$, para $x \neq 2$.

Considerando las funciones $f: \mathbb{R} - {2} \to \mathbb{R} - {3}$ definida por $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $g(x) = x + 1$:

Cálculo de $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$: $f(3 + h) = \frac{3(3 + h) + 1}{(3 + h) - 2} = \frac{9 + 3h + 1}{h + 1} = \frac{10 + 3h}{h + 1}$ $f(3) = \frac{3(3) + 1}{3 - 2} = \frac{10}{1} = 10$ $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{\frac{10 + 3h}{h + 1} - 10}{h} = \frac{\frac{10 + 3h - 10(h + 1)}{h + 1}}{h}$ $= \frac{10 + 3h - 10h - 10}{h(h + 1)} = \frac{-7h}{h(h + 1)} = \frac{-7}{h + 1}$
Encontrar una función $p$ tal que $f \circ p = g$: Sabemos que $(f \circ p)(x) = f(p(x)) = g(x)$. Entonces $f(p(x)) = \frac{3p(x) + 1}{p(x) - 2} = x + 1$. $3p(x) + 1 = (x + 1)(p(x) - 2)$ $3p(x) + 1 = xp(x) - 2x + p(x) - 2$ $3p(x) - xp(x) - p(x) = -2x - 2 - 1$ $p(x)(3 - x - 1) = -2x - 3$ $p(x)(2 - x) = -2x - 3$ $p(x) = \frac{-2x - 3}{2 - x} = \frac{2x + 3}{x - 2}$.

Si $f(x) = \frac{3x}{x - 5}$ y $(f \circ g)(x) = \frac{2x + 1}{x}$:

Determinar $g(x)$: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \frac{3g(x)}{g(x) - 5} = \frac{2x + 1}{x}$. $3xg(x) = (2x + 1)(g(x) - 5)$ $3xg(x) = (2x + 1)g(x) - 5(2x + 1)$ $3xg(x) - (2x + 1)g(x) = -10x - 5$ $g(x)(3x - (2x + 1)) = -10x - 5$ $g(x)(3x - 2x - 1) = -10x - 5$ $g(x)(x - 1) = -10x - 5$ $g(x) = \frac{-10x - 5}{x - 1}$.
Determinar $(g \circ f)(x)$: $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\frac{3x}{x - 5})$. Sustituyendo en la expresión de $g(x)$: $g(f(x)) = \frac{-10(\frac{3x}{x - 5}) - 5}{(\frac{3x}{x - 5}) - 1}$ $= \frac{\frac{-30x - 5(x - 5)}{x - 5}}{\frac{3x - (x - 5)}{x - 5}} = \frac{-30x - 5x + 25}{3x - x + 5} = \frac{-35x + 25}{2x + 5}$.

Análisis de Funciones a Trozos y sus Composiciones

Consideremos las funciones a trozos dadas:

Calcularemos los valores de las composiciones:

$(f \circ g)(-3)$: Primero calculamos $g(-3)$. Como $-3 \leq 1$, usamos $x^2 - 4$: $g(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Ahora calculamos $f(5)$. Como $5 > 4$, usamos $|x - 4|$: $f(5) = |5 - 4| = |1| = 1$. Por lo tanto, $(f \circ g)(-3) = 1$.
$(f \circ g)(2)$: Primero calculamos $g(2)$. Como $1 < 2 < 7$, usamos $|x - 1| + 1$: $g(2) = |2 - 1| + 1 = |1| + 1 = 1 + 1 = 2$. Ahora calculamos $f(2)$. Como $-1 < 2 \leq 4$, usamos $\frac{1}{x + 1}$: $f(2) = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$. Por lo tanto, $(f \circ g)(2) = \frac{1}{3}$.
$(g \circ f)(0)$: Primero calculamos $f(0)$. Como $-1 < 0 \leq 4$, usamos $\frac{1}{x + 1}$: $f(0) = \frac{1}{0 + 1} = 1$. Ahora calculamos $g(1)$. Como $1 \leq 1$, usamos $x^2 - 4$: $g(1) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Por lo tanto, $(g \circ f)(0) = -3$.

Propiedades de Funciones: Simetría y Positividad

Analicemos la función $g(x) = \frac{1}{x^2 - a^2}$, donde $a$ es una constante positiva.

a) Encontrar $x$ tal que $g(x) = 0$: $\frac{1}{x^2 - a^2} = 0$. Esta ecuación no tiene solución, ya que el numerador es una constante no nula. Por lo tanto, no existe ningún $x$ para el cual $g(x) = 0$.
b) Intervalos donde $g(x)$ es positiva: Para que $g(x) > 0$, el denominador debe ser positivo: $x^2 - a^2 > 0$. Esto implica $(x - a)(x + a) > 0$. Los puntos críticos son $x = a$ y $x = -a$. Analizando el signo, $g(x)$ es positiva en $(-\infty, -a) \cup (a, \infty)$.
c) Intervalos donde $g(x)$ es negativa: Para que $g(x) < 0$, el denominador debe ser negativo: $x^2 - a^2 < 0$. Esto implica $(x - a)(x + a) < 0$. $g(x)$ es negativa en $(-a, a)$.

Ejercicios de Secciones Cónicas: Circunferencia y Elipse

Ecuación de la Circunferencia: Centro y Radio

La ecuación general de una circunferencia es $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. La ecuación canónica es $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, donde $(h, k)$ es el centro y $r$ es el radio.

Calcule el centro y radio de las circunferencias:

a) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 1 - 1 - 4 = 0$ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Centro: $(1, 2)$, Radio: $r = 2$.
b) $2x^2 + 2y^2 - 2x - 2y + 9 = 0$ Dividiendo por 2: $x^2 + y^2 - x - y + \frac{9}{2} = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - x + \frac{1}{4}) + (y^2 - y + \frac{1}{4}) + \frac{9}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -4$. Como el radio al cuadrado no puede ser negativo, esta ecuación no representa una circunferencia real.
c) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 13 - 4 - 9 = 0$ $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$. Esto es un punto, no una circunferencia con radio positivo. Centro: $(2, -3)$, Radio: $r = 0$.
d) $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 17 = 0$ Completando cuadrados: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + 17 - 4 - 9 = 0$ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = -4$. Esta ecuación no representa una circunferencia real.

Ecuación de la circunferencia que pasa por A(0,6) y B(1,5) y centro en $x+y=1$: Sea el centro $C(h, k)$. Como $C$ está en $x+y=1$, entonces $h+k=1 \implies k = 1-h$. La distancia del centro a A y B es el radio $r$: $r^2 = (h-0)^2 + (k-6)^2 = (h-1)^2 + (k-5)^2$. $h^2 + (1-h-6)^2 = (h-1)^2 + (1-h-5)^2$ $h^2 + (-h-5)^2 = (h-1)^2 + (-h-4)^2$ $h^2 + h^2 + 10h + 25 = h^2 - 2h + 1 + h^2 + 8h + 16$ $2h^2 + 10h + 25 = 2h^2 + 6h + 17$ $4h = -8 \implies h = -2$. Entonces $k = 1 - (-2) = 3$. Centro: $C(-2, 3)$. Radio cuadrado: $r^2 = (-2 - 0)^2 + (3 - 6)^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$. Ecuación Canónica: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$. Ecuación General: $x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - 13 = 0 \implies x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$.
Ecuación general de la circunferencia tangente a $2x - 3y + 5 = 0$ y centro $(-1, -2)$: El radio $r$ es la distancia del centro $(-1, -2)$ a la recta $2x - 3y + 5 = 0$. $r = \frac{|2(-1) - 3(-2) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$. $r^2 = \frac{81}{13}$. Ecuación Canónica: $(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = \frac{81}{13} \implies (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{81}{13}$. Ecuación General: $x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = \frac{81}{13}$ $13(x^2 + y^2 + 2x + 4y + 5) = 81$ $13x^2 + 13y^2 + 26x + 52y + 65 - 81 = 0 \implies 13x^2 + 13y^2 + 26x + 52y - 16 = 0$.
Ecuación de la circunferencia con centro en intersección de $x + 3y + 3 = 0$ y $x + y + 1 = 0$, y radio 5: Para encontrar el centro, resolvemos el sistema de ecuaciones: $(x + 3y = -3) - (x + y = -1) \implies 2y = -2 \implies y = -1$. Sustituyendo $y = -1$ en $x + y + 1 = 0$: $x - 1 + 1 = 0 \implies x = 0$. Centro: $(0, -1)$. Radio: $r = 5$, entonces $r^2 = 25$. Ecuación Canónica: $(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 25 \implies x^2 + (y + 1)^2 = 25$. Ecuación General: $x^2 + y^2 + 2y + 1 - 25 = 0 \implies x^2 + y^2 + 2y - 24 = 0$.
Ecuación de la circunferencia con centro en intersección de L1: $2x-y+3=0$ y L2: $4x+y-2=0$, y tangente a L3: $x-y+1=0$: Para el centro, sumamos L1 y L2: $(2x - y + 3) + (4x + y - 2) = 0 \implies 6x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{6}$. Sustituyendo en L1: $2(-\frac{1}{6}) - y + 3 = 0 \implies -\frac{1}{3} - y + 3 = 0 \implies y = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$. Centro: $(-\frac{1}{6}, \frac{8}{3})$. El radio es la distancia del centro a la recta L3: $x - y + 1 = 0$. $r = \frac{|(-\frac{1}{6}) - (\frac{8}{3}) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{1}{6} - \frac{16}{6} + \frac{6}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{|-\frac{11}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{11}{6\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{12}$. $r^2 = (\frac{11\sqrt{2}}{12})^2 = \frac{121 \cdot 2}{144} = \frac{121}{72}$. Ecuación Canónica: $(x + \frac{1}{6})^2 + (y - \frac{8}{3})^2 = \frac{121}{72}$. Ecuación General: $x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} + y^2 - \frac{16}{3}y + \frac{64}{9} = \frac{121}{72}$ Multiplicando por 72: $72x^2 + 24x + 2 + 72y^2 - 384y + 512 = 121$ $72x^2 + 72y^2 + 24x - 384y + 393 = 0$.

Ecuación de la Elipse y sus Elementos

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Su ecuación canónica depende de la orientación de sus ejes.

Ecuación general de la elipse con centro O(2,-3), eje menor 4 y eje mayor 5: El eje mayor y menor se refieren a $2a$ y $2b$. Aquí se confunden los términos usuales. Si el texto se refiere a la longitud de los semiejes, $2b=4 \implies b=2$ y $2a=5 \implies a=2.5$. Si el texto se refiere a los semiejes, entonces $b=4$ y $a=5$. Asumiremos que se refieren a las longitudes completas. Por lo tanto $2b=4 \implies b=2$ y $2a=5 \implies a=2.5$. Si el eje mayor es vertical, la ecuación es $\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1$. Si el eje mayor es horizontal, la ecuación es $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. Normalmente, $a > b$. En este caso, $a=2.5$ y $b=2$. No se especifica la orientación. Asumiremos eje mayor horizontal. Centro $(h, k) = (2, -3)$, $a = 2.5$, $b = 2$. $\frac{(x - 2)^2}{(2.5)^2} + \frac{(y - (-3))^2}{2^2} = 1 \implies \frac{(x - 2)^2}{6.25} + \frac{(y + 3)^2}{4} = 1$. Multiplicando por $25$: $4(x - 2)^2 + 6.25(y + 3)^2 = 25$. Para eliminar decimales, multiplicamos por 4: $16(x-2)^2 + 25(y+3)^2 = 100$. $16(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 6y + 9) = 100$ $16x^2 - 64x + 64 + 25y^2 + 150y + 225 = 100$ $16x^2 + 25y^2 - 64x + 150y + 189 = 0$.
Intersección de $4x^2 + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ con la recta L: $4x - 3y + 5 = 0$: De la recta, despejamos $x$: $4x = 3y - 5 \implies x = \frac{3y - 5}{4}$. Sustituimos en la ecuación de la elipse: $4(\frac{3y - 5}{4})^2 + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ $4\frac{(3y - 5)^2}{16} + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ $\frac{9y^2 - 30y + 25}{4} + 5y^2 - 15y - 20 = 0$ Multiplicamos por 4: $9y^2 - 30y + 25 + 20y^2 - 60y - 80 = 0$ $29y^2 - 90y - 55 = 0$. Usamos la fórmula cuadrática: $y = \frac{-(-90) \pm \sqrt{(-90)^2 - 4(29)(-55)}}{2(29)}$ $y = \frac{90 \pm \sqrt{8100 + 6380}}{58} = \frac{90 \pm \sqrt{14480}}{58} = \frac{90 \pm 4\sqrt{905}}{58} = \frac{45 \pm 2\sqrt{905}}{29}$. Para cada valor de $y$, calculamos $x = \frac{3y - 5}{4}$. $y_1 = \frac{45 + 2\sqrt{905}}{29} \implies x_1 = \frac{3(\frac{45 + 2\sqrt{905}}{29}) - 5}{4} = \frac{\frac{135 + 6\sqrt{905} - 145}{29}}{4} = \frac{-10 + 6\sqrt{905}}{116} = \frac{-5 + 3\sqrt{905}}{58}$. $y_2 = \frac{45 - 2\sqrt{905}}{29} \implies x_2 = \frac{3(\frac{45 - 2\sqrt{905}}{29}) - 5}{4} = \frac{\frac{135 - 6\sqrt{905} - 145}{29}}{4} = \frac{-10 - 6\sqrt{905}}{116} = \frac{-5 - 3\sqrt{905}}{58}$. Las coordenadas de intersección son $(\frac{-5 + 3\sqrt{905}}{58}, \frac{45 + 2\sqrt{905}}{29})$ y $(\frac{-5 - 3\sqrt{905}}{58}, \frac{45 - 2\sqrt{905}}{29})$.
Elementos de la elipse a partir de su ecuación:

a) $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$ Agrupamos términos y completamos cuadrados: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11$ $4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4(4) + 9(1)$ $4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 11 + 16 + 9 = 36$ Dividimos por 36: $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$. Centro: $(2, -1)$. $a^2 = 9 \implies a = 3$. $b^2 = 4 \implies b = 2$. $c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 \implies c = \sqrt{5}$. Eje mayor horizontal. Vértices: $(h \pm a, k) = (2 \pm 3, -1) \implies V_1(5, -1), V_2(-1, -1)$. Covértices (extremos eje menor): $(h, k \pm b) = (2, -1 \pm 2) \implies B_1(2, 1), B_2(2, -3)$. Focos: $(h \pm c, k) = (2 \pm \sqrt{5}, -1) \implies F_1(2 + \sqrt{5}, -1), F_2(2 - \sqrt{5}, -1)$. Longitud Eje Mayor: $2a = 6$. Longitud Eje Menor: $2b = 4$.
b) $9x^2 + 4y^2 + 18x - 16y - 11 = 0$ Agrupamos términos y completamos cuadrados: $9(x^2 + 2x) + 4(y^2 - 4y) = 11$ $9(x^2 + 2x + 1) + 4(y^2 - 4y + 4) = 11 + 9(1) + 4(4)$ $9(x + 1)^2 + 4(y - 2)^2 = 11 + 9 + 16 = 36$ Dividimos por 36: $\frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$. Centro: $(-1, 2)$. $a^2 = 9 \implies a = 3$. $b^2 = 4 \implies b = 2$. (Aquí $a$ está bajo $y^2$, indicando eje mayor vertical). $c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 \implies c = \sqrt{5}$. Eje mayor vertical. Vértices: $(h, k \pm a) = (-1, 2 \pm 3) \implies V_1(-1, 5), V_2(-1, -1)$. Covértices (extremos eje menor): $(h \pm b, k) = (-1 \pm 2, 2) \implies B_1(1, 2), B_2(-3, 2)$. Focos: $(h, k \pm c) = (-1, 2 \pm \sqrt{5}) \implies F_1(-1, 2 + \sqrt{5}), F_2(-1, 2 - \sqrt{5})$. Longitud Eje Mayor: $2a = 6$. Longitud Eje Menor: $2b = 4$.

Ecuación de la elipse con focos $F_1(-4, 3)$ y $F_2(2, 3)$ y perímetro de rectángulo (con focos y un punto de la elipse) igual a 16: El centro de la elipse es el punto medio de los focos: $C = (\frac{-4 + 2}{2}, \frac{3 + 3}{2}) = (\frac{-2}{2}, \frac{6}{2}) = (-1, 3)$. La distancia entre los focos es $2c$: $2c = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \implies c = 3$. Los focos están en $y=3$, así que el eje mayor es horizontal. El

Ejercicios de Secciones Cónicas y Funciones

Fundamentos de Funciones: Dominio, Recorrido y Operaciones

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