Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale und Abhängigkeit

Willkommen zu diesem umfassenden Leitfaden zur Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale und Abhängigkeit! In der deskriptiven Statistik beschäftigen wir uns oft nicht nur mit einzelnen Merkmalen, sondern möchten verstehen, wie sich zwei Merkmale zueinander verhalten und ob eine Abhängigkeit zwischen ihnen besteht. Dieser Artikel ist perfekt für Studierende, die dieses Thema von Grund auf verstehen möchten, sei es für die Vorlesung, eine Prüfung oder die nächste Statistik-Aufgabe. Wir werden die Grundlagen, Definitionen, Berechnungen und Interpretationen ausführlich behandeln.

Was ist die Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale? Eine Einführung

Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Liste von statistischen Einheiten, bei denen jeweils zwei Merkmale erfasst wurden – eine sogenannte Urliste zweier Merkmale. Jede Einheit $l$ besitzt eine Merkmalsausprägung $a_l$ für Merkmal $X$ und $b_l$ für Merkmal $Y$. Anstatt die Merkmale einzeln zu betrachten, wollen wir wissen, wie sich die Merkmalsträger auf die Kombinationen der Ausprägungen dieser beiden Merkmale verteilen. Dies ist der Kern der Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale.

Gemeinsame und Randhäufigkeiten bestimmen

Um die Verteilung zu erfassen, zählen wir die Häufigkeit, mit der bestimmte Ausprägungs-Kombinationen gemeinsam auftreten. Dies wird als gemeinsame absolute Häufigkeit $h_{ij}$ bezeichnet. Sie gibt an, wie oft die Ausprägung $x_i$ von Merkmal $X$ und die Ausprägung $y_j$ von Merkmal $Y$ gleichzeitig bei einer statistischen Einheit beobachtet werden. Mathematisch lässt sich dies als Summe von Indikatorfunktionen darstellen:

$$h_{ij} = \sum_{l=1}^{N} I_{{a_l = x_i, b_l = y_j}}$$

Dabei ist die Indikatorfunktion $I$ genau dann eins, wenn die Bedingung im Index erfüllt ist, und null sonst.

Neben den gemeinsamen Häufigkeiten sind auch die Randhäufigkeiten von Bedeutung. Sie geben an, wie oft eine bestimmte Ausprägung eines einzelnen Merkmals insgesamt auftritt, unabhängig von der Ausprägung des anderen Merkmals:

• $h_{i.} = \sum_{j=1}^{s} h_{ij}$ für Merkmal $X$ (Summe über alle Ausprägungen von $Y$)
• $h_{.j} = \sum_{i=1}^{r} h_{ij}$ für Merkmal $Y$ (Summe über alle Ausprägungen von $X$)

Die Summe aller Randhäufigkeiten für $X$ oder $Y$ ergibt die Gesamtzahl der statistischen Einheiten $N$.

Darstellung in einer Häufigkeitstabelle (Kontingenztabelle)

Die Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale wird typischerweise in einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle oder Kontingenztabelle dargestellt. Diese Tabelle listet die Ausprägungen des einen Merkmals in den Zeilen und die des anderen in den Spalten auf. Im Inneren der Tabelle stehen die gemeinsamen Häufigkeiten $h_{ij}$, während die Ränder die Randhäufigkeiten $h_{i.}$ und $h_{.j}$ enthalten. Das untere rechte Feld zeigt die Gesamtanzahl $N$.

Beispiel: Bevölkerungsstand nach Geschlecht und Alter

Ein klassisches Beispiel für eine solche Tabelle ist der Bevölkerungsstand, aufgeteilt nach Geschlecht und Altersgruppen. Hier sehen wir, wie die Merkmale „Geschlecht“ und „Alter“ gemeinsam auftreten:

Diese Tabelle zeigt die absoluten Häufigkeiten (in Tsd.) für den Bevölkerungsstand in Deutschland am 31.12.2015. Wir können ablesen, dass beispielsweise 5.594,1 Tsd. Männer unter 15 Jahren waren.

Relative Häufigkeiten und bedingte Häufigkeiten verstehen

Um Vergleiche besser anstellen zu können, werden oft relative Häufigkeiten verwendet. Die gemeinsame relative Häufigkeit $f_{ij}$ berechnet sich als $f_{ij} = h_{ij}/N$. Ebenso gibt es relative Randhäufigkeiten $f_{i.} = h_{i.}/N$ und $f_{.j} = h_{.j}/N$. Diese entsprechen den Häufigkeiten des jeweiligen Merkmals, als ob es isoliert betrachtet würde. Ein zweidimensionales Balkendiagramm kann diese relativen Häufigkeiten visualisieren.

Bedingte Häufigkeit: Der Anteil unter einer Bedingung

Eine besonders wichtige Kennzahl ist die bedingte (relative) Häufigkeit $f(x_i / y_j)$. Sie gibt den Anteil der statistischen Einheiten an, welche die Merkmalsausprägung $x_i$ (für $X$) besitzen, unter all jenen, die die Merkmalsausprägung $y_j$ (für $Y$) haben. Analog gilt dies für $f(y_j / x_i)$.

Die Formel dafür lautet:

$$f (x _ {i} / y _ {j}) = \frac {h _ {i j}}{h _ {. j}} = \frac {f _ {i j}}{f _ {. j}}$$

Der Multiplikationssatz verbindet gemeinsame, bedingte und Randhäufigkeiten: Die gemeinsame relative Häufigkeit kann als Produkt aus relativer bedingter und relativer Randhäufigkeit dargestellt werden:

$$f(x_i, y_j) = f(x_i / y_j) \cdot f_Y(y_j) = f(y_j / x_i) \cdot f_X(x_i)$$

Dies bedeutet, dass $f(x_i, y_j) = f(x_i/y_j) \cdot f_{Y}(y_j)$.

Beispiel: Hansafan und Geschlecht

Betrachten wir eine Befragung in Rostock zur Fußballbegeisterung (Fan des F.C. Hansa Rostock) und Geschlecht:

Hieraus können wir zum Beispiel $f(\text{ja}, \text{w})$ berechnen: $0,1 = f(\text{ja} / \text{w}) \cdot f_Y(\text{w}) = 0,2 \cdot 0,5$. Dies zeigt, dass 20% der weiblichen Befragten Hansa-Fans sind.

Unabhängigkeit zweier Merkmale: Was bedeutet das?

Intuitiv ist die Kenntnis von $y_j$ nur dann informativ für das Merkmal $X$, wenn sich die bedingten Häufigkeiten $f(x_i / y_j)$ für verschiedene $j$ unterscheiden. Wenn $f(x_i / y_j) = f_X(x_i)$ für alle $j$ gilt, dann scheint $X$ von $y_j$ unabhängig zu sein. Gilt dies für alle $i$, sprechen wir von Unabhängigkeit im beschreibenden Sinne.

Formal bedeutet Unabhängigkeit, dass sich jede gemeinsame relative Häufigkeit als Produkt der relativen Randhäufigkeiten darstellen lässt:

$$f(x_i, y_j) = f_X(x_i) \cdot f_Y(y_j)$$

Anders ausgedrückt: Wenn wir Unabhängigkeit unterstellen, erwarten wir, dass die gemeinsamen relativen Häufigkeiten durch das Produkt der Randhäufigkeiten gebildet werden können. Der Wert eins spricht hier für Unabhängigkeit.

Erwartete Häufigkeiten bei Unabhängigkeit berechnen

Basierend auf der Annahme der Unabhängigkeit können wir erwartete Häufigkeiten $h_{ij}^{e}$ für die absoluten Häufigkeiten bei $N$ Beobachtungen berechnen. Diese ergeben sich aus dem Produkt der Randhäufigkeiten, multipliziert mit der Gesamtzahl der Elemente $N$:

$$h_{ij}^{e} = \frac{h_{i.} \cdot h_{.j}}{N}$$

Um beobachtete und erwartete Häufigkeiten zu unterscheiden, schreiben wir für die beobachteten Häufigkeiten oft $h_{ij}^{o}$. Der Begriff „Erwartung“ bezieht sich hierbei auf die Annahme, dass kein Zusammenhang zwischen den Merkmalen besteht. Je stärker die beobachteten ($h_{ij}^o$) von den erwarteten ($h_{ij}^e$) Häufigkeiten abweichen, desto stärker ist die Abhängigkeit.

Beispiel: Erwartete Hansafan-Häufigkeiten

Nehmen wir unser Hansafan-Beispiel erneut, nun mit absoluten Zahlen:

Wenn wir Unabhängigkeit annehmen würden, sähen die erwarteten Häufigkeiten so aus:

(Berechnung für $h_{11}^e$: $(3 \cdot 5) / 10 = 1,5$).

Da $0,1 \neq 0,3 \cdot 0,5 = 0,15$ im ursprünglichen Beispiel, können wir sehen, dass in der Realität eine Abhängigkeit vorliegt. Frauen sind mit 0,1 (10% der Gesamtstichprobe) weniger oft Hansafans, als bei Unabhängigkeit (0,15) zu erwarten wäre.

Maßzahlen für Abhängigkeit: Chi-Quadrat und Kontingenzkoeffizient

Um die Stärke eines Zusammenhangs zwischen nominalen Merkmalen zu quantifizieren, nutzen wir bestimmte Maßzahlen. Diese helfen uns, objektiv zu beurteilen, wie stark beobachtete Häufigkeiten von den unter Annahme der Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten abweichen.

Der Chi-Quadrat ($\chi^2$) Hilfswert

Ein grundlegender Wert zur Messung der Abweichung ist der Chi-Quadrat ($\chi^2$) Hilfswert. Er wird durch die folgende Formel bestimmt:

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} \frac{(h_{ij}^o - h_{ij}^e)^2}{h_{ij}^e}$$

Dabei wird jede beobachtete Häufigkeit $h_{ij}^o$ mit der zugehörigen erwarteten Häufigkeit $h_{ij}^e$ ins Verhältnis gesetzt. Für eine Vierfeldertafel (also $r = 2$ Zeilen und $s = 2$ Spalten) gibt es eine vereinfachte Formel:

$$\chi^2 = \frac{N(h_{11}^o h_{22}^o - h_{12}^o h_{21}^o)^2}{h_{1.}^o h_{2.}^o h_{.1}^o h_{.2}^o}$$

Im Hansafan-Beispiel ergibt sich ein $\chi^2 \approx 0,48$.

Der Kontingenzkoeffizient C

Aus dem $\chi^2$-Wert kann dann der Kontingenzkoeffizient $C$ berechnet werden, ein grundlegendes Zusammenhangsmaß für nominale Merkmale:

$$C = \sqrt{\frac{\chi^2}{N + \chi^2}}$$

Im Hansafan-Beispiel ergibt sich $C \approx 0,21$.

Die Interpretation von $C$ ist jedoch etwas erschwert, da sein Wertebereich nicht exakt zwischen 0 und 1 liegt. Der maximale Wert von $C$ hängt von der Anzahl der Zeilen und Spalten der Kontingenztabelle ab. Um dies zu beheben, wird oft ein korrigierter Kontingenzkoeffizient verwendet.

Der Korrigierte Kontingenzkoeffizient $C_{\text{korr}}$

Der korrigierte Kontingenzkoeffizient $C_{\text{korr}}$ passt $C$ an, sodass er tatsächlich den Wertebereich von 0 bis 1 besitzt. Die Korrekturformel lautet:

$$C_{\text{korr}} = C \cdot \sqrt{\frac{\min(r, s)}{\min(r, s) - 1}}$$

• Ein Wert von 0 drückt die Abwesenheit eines Zusammenhangs aus.
• Ein Wert von 1 bedeutet perfekte Abhängigkeit.

Im Hansafan-Beispiel mit $r=2$ und $s=2$ ist $\min(r, s) = 2$. Damit ergibt sich:

$$C_{\text{korr}} = C \cdot \sqrt{\frac{2}{2 - 1}} = C \cdot \sqrt{2} \approx 0,21 \cdot \sqrt{2} \approx 0,30$$

Dieser Wert von $C_{\text{korr}} \approx 0,30$ deutet darauf hin, dass ein schwacher Zusammenhang zwischen der Fußballbegeisterung für Hansa Rostock und dem Geschlecht besteht.

Fazit zur Häufigkeitsverteilung und Abhängigkeit

Das Verständnis der Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale und ihrer Abhängigkeit ist entscheidend, um Muster und Zusammenhänge in Daten zu erkennen. Von der einfachen Urliste über die detaillierte Häufigkeitstabelle bis hin zu anspruchsvollen Maßzahlen wie dem korrigierten Kontingenzkoeffizienten haben Sie nun das Rüstzeug, um solche Analysen selbst durchzuführen und zu interpretieren. Diese Kenntnisse sind nicht nur für Studierende der Statistik unverzichtbar, sondern für jeden, der datengestützte Entscheidungen treffen möchte.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Unterschied zwischen gemeinsamen und Randhäufigkeiten?

Gemeinsame Häufigkeiten ($h_{ij}$) geben an, wie oft zwei spezifische Ausprägungen von zwei verschiedenen Merkmalen gleichzeitig auftreten. Randhäufigkeiten ($h_{i.}$ oder $h_{.j}$) hingegen zeigen an, wie oft eine spezifische Ausprägung eines einzelnen Merkmals insgesamt vorkommt, ohne Berücksichtigung des anderen Merkmals.

Wie interpretiert man den Kontingenzkoeffizienten Ckorr?

Der korrigierte Kontingenzkoeffizient $C_{\text{korr}}$ ist ein Maß für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei nominalen Merkmalen. Sein Wert liegt zwischen 0 und 1. Ein Wert von 0 bedeutet keine Abhängigkeit (Merkmale sind unabhängig), während ein Wert von 1 eine perfekte Abhängigkeit anzeigt. Werte dazwischen deuten auf unterschiedlich starke Zusammenhänge hin: Je näher an 1, desto stärker der Zusammenhang.

Wann spricht man von Unabhängigkeit zweier Merkmale?

Zwei Merkmale sind im beschreibenden Sinne unabhängig, wenn die gemeinsame relative Häufigkeit jeder Ausprägungskombination gleich dem Produkt ihrer jeweiligen relativen Randhäufigkeiten ist. Mathematisch: $f(x_i, y_j) = f_X(x_i) \cdot f_Y(y_j)$. Dies bedeutet, dass die Kenntnis der Ausprägung des einen Merkmals keine zusätzliche Information über die Ausprägung des anderen Merkmals liefert.

Wofür wird der Chi-Quadrat ($\chi^2$) Wert verwendet?

Der Chi-Quadrat ($\chi^2$) Wert ist ein Hilfswert, der die Abweichung zwischen den beobachteten Häufigkeiten und den unter der Annahme der Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten misst. Eine große Abweichung (hoher $\chi^2$-Wert) deutet auf eine starke Abhängigkeit hin, während ein kleiner $\chi^2$-Wert auf Unabhängigkeit schließen lässt. Er bildet die Grundlage für die Berechnung des Kontingenzkoeffizienten und ist ein wichtiger Bestandteil von Hypothesentests zur Unabhängigkeit von Merkmalen.